向量空间场景

manim.scene.vector_space_scene 提供两个教学向的场景基类：VectorScene 在网格背景上画向量、标注坐标，LinearTransformationScene 把整张网格当作向量空间，以动画演示矩阵乘法（3Blue1Brown 线性代数系列的核心场景）。

VectorScene

VectorScene(basis_vector_stroke_width=6.0, **kwargs) 官方文档 ↗

VectorScene 继承普通 Scene，额外提供网格背景与一整套向量操作：加向量、贴标签、写坐标、坐标与向量的双向演示。

name	type	default	desc
basis_vector_stroke_width	float	6.0	基向量（i / j 帽）的线宽

场景辅助（默认背景没有网格，需要时自行添加）：

• self.add_plane(animate=False, **kwargs) —— 添加 NumberPlane 背景

• self.add_axes(animate=False, color=WHITE) —— 只添加 Axes

• self.lock_in_faded_grid(dimness=0.7, axes_dimness=0.5) —— 常用开场：淡化网格 + 坐标轴锁定在底层

向量操作：

• self.add_vector(vector, color=YELLOW, animate=True, **kwargs) —— 画向量并播放 GrowArrow，返回 Arrow；vector 可传坐标序列

• self.label_vector(vector, label, animate=True, **kwargs) —— 给向量贴标签（Text / MathTex 均可），返回标签

• self.get_vector(numerical_vector, **kwargs) —— 只创建不播放，返回 Arrow

• self.write_vector_coordinates(vector, **kwargs) —— 写出向量的坐标矩阵 Matrix

• self.vector_to_coords(vector, integer_labels=True, clean_up=True) —— 演示“向量 → 坐标”：返回 (坐标矩阵, x 虚线, y 虚线)，clean_up=False 保留辅助线

• self.coords_to_vector(coords, coords_start=(2, 2, 0), clean_up=True) —— 反向演示“坐标 → 向量”

add_vector 默认播放生长动画并返回 Arrow，返回值要接住才能继续 label_vector；标签用 Text 渲染即可，不依赖 LaTeX。

查看源码 vector_scene.py

"""VectorSceneDemo: VectorScene 的加向量与向量标注。"""

from manim import *


class VectorSceneDemo(VectorScene):
    def construct(self):
        # add_vector 默认播放动画并返回 Arrow
        v = self.add_vector([2, 1], color=YELLOW)
        self.label_vector(v, Text("v", font_size=36))
        self.wait(0.5)

        w = self.add_vector([-1, 1.5], color=BLUE)
        self.label_vector(w, Text("w", font_size=36))
        self.wait(0.5)

提示

VectorScene 的网格不会自动出现——add_plane() / lock_in_faded_grid() 二选一。只做向量加减讲解时 lock_in_faded_grid() 的淡化网格最省心；需要读坐标时再用 add_plane() 配合 show_coordinates 风格的显式网格。

LinearTransformationScene

LinearTransformationScene(include_background_plane=True, include_foreground_plane=True, background_plane_kwargs=None, foreground_plane_kwargs=None, show_coordinates=False, show_basis_vectors=True, basis_vector_stroke_width=6, i_hat_color=ManimColor('#83C167'), j_hat_color=ManimColor('#FC6255'), leave_ghost_vectors=False, **kwargs) 官方文档 ↗

LinearTransformationScene 继承 VectorScene，专为线性变换动画设计：场景自带背景网格与前景网格，以及 i 帽 / j 帽两个基向量；apply_matrix(...) 会把整个空间（网格、基向量、所有“可变换对象”）按矩阵逐一变换。

name	type	default	desc
include_background_plane	bool	True	底层淡化网格
include_foreground_plane	bool	True	顶层“会变形的”网格
background_plane_kwargs / foreground_plane_kwargs	dict | None	None	两层 NumberPlane 的配置
show_coordinates	bool	False	是否显示网格坐标数字
show_basis_vectors	bool	True	是否显示 i 帽 / j 帽
basis_vector_stroke_width	float	6	基向量线宽
i_hat_color	ParsableManimColor	'#83C167'	i 帽颜色（绿）
j_hat_color	ParsableManimColor	'#FC6255'	j 帽颜色（红）
leave_ghost_vectors	bool	False	变换时是否留下基向量的“残影”轨迹

变换方法：

• self.apply_matrix(matrix, **kwargs) —— 播放线性变换动画；matrix 为 2×2（列是 i 帽 / j 帽的新位置）

• self.apply_inverse(matrix, **kwargs) / apply_transposed_matrix(...) / apply_inverse_transpose(...) —— 逆 / 转置 / 逆转置

• self.apply_nonlinear_transformation(function, **kwargs) —— 任意 R² → R² 函数变换（如 lambda p: p + np.array([np.sin(p[1]), 0, 0])）

• self.add_unit_square(animate=False, **kwargs) —— 添加单位正方形（默认不播动画）

• self.add_transformable_mobject(*mobjects) —— 注册自定义对象，变换时随网格一起变形

• self.add_transformable_label(vector, label, transformation_name="L", new_label=None, **kwargs) —— 给基向量添加会跟随变换的标注（MathTex）

• self.add_title(title, scale_factor=1.5, animate=False) —— 场景标题

[[1, 1], [0, 1]] 是切变矩阵：第一列 (1, 0) 是 i 帽的新位置，第二列 (1, 1) 是 j 帽的新位置。单位正方形随网格一起被“推斜”。

查看源码 linear_transformation.py

"""LinearTransformationDemo: 切变矩阵的线性变换动画。"""

from manim import *


class LinearTransformationDemo(LinearTransformationScene):
    def construct(self):
        # 默认已包含背景/前景 NumberPlane 与 i_hat、j_hat 基向量
        self.add_unit_square()
        self.wait(0.3)

        # 切变：x 轴不变，j_hat 移到 (1, 1)
        self.apply_matrix([[1, 1], [0, 1]], run_time=2.0)
        self.wait(0.5)

常见错误

apply_matrix 的参数是列主序的数学矩阵：每一列是一个基向量变换后的像（第一列 = i 帽新位置，第二列 = j 帽新位置）。想实现“x 轴不变、y 按 x 剪切”（x' = x + y, y' = y）应传 [[1, 1], [0, 1]]；而它的转置 [[1, 0], [1, 1]] 是“y 轴不变、x 按 y 剪切”——两者效果完全不同，对称矩阵看不出来时最容易写错。不确定就观察 i 帽 / j 帽的实际走向。

提示

leave_ghost_vectors=True 会在每次变换时留下基向量的半透明残影，多步变换的轨迹一目了然；show_coordinates=True 适合演示“网格线即坐标”的概念，但数字较密，正式讲解常用 show_coordinates=False 的干净网格。

自测

✏️ 练习

self.add_vector([2, 1]) 之后想给这个向量贴上标签 v，完整写法是什么？

✅ 参考答案

接住返回值再标注：

v = self.add_vector([2, 1], color=YELLOW)
self.label_vector(v, Text("v", font_size=36))

add_vector 默认播放 GrowArrow 动画；不想播动画可传 animate=False。

✏️ 练习

在 LinearTransformationScene 中演示“先逆时针旋转 90°，再沿 x 轴剪切”的两步变换，第二步应该怎么写矩阵？（旋转矩阵 R = [[0, -1], [1, 0]]，剪切 S = [[1, 1], [0, 1]]）

✅ 参考答案

第二步直接 self.apply_matrix([[1, 1], [0, 1]]) 即可。LinearTransformationScene 的每一步 apply_matrix 都作用在当前空间状态上：先 self.apply_matrix([[0, -1], [1, 0]]) 旋转，再 self.apply_matrix([[1, 1], [0, 1]]) 剪切，总效果即复合变换 S @ R。想一次到位也可合成矩阵 self.apply_matrix(np.array([[1, 1], [0, 1]]) @ np.array([[0, -1], [1, 0]]))。

✏️ 练习

只想保留会变形的“前景网格”，去掉底层淡化网格，怎么构造？

✅ 参考答案

class MyScene(LinearTransformationScene): def __init__(self, **kw): super().__init__(include_background_plane=False, **kw)——或直接在构造时传参。前景网格是变换的“主角”，背景网格只作参照；两层都关掉（include_foreground_plane=False）则只剩基向量和注册对象在动。

下一步

坐标系与数据可视化板块到此结束：数轴、刻度、坐标系家族、函数绘图、概率图表、矩阵、表格与向量空间场景都已就位。下一板块进入动画进阶，从 Animation 的内部机制讲起。